Transformada de la Laplace
Por definición la transformada de Laplace de una función se representa como lo muestra la ecuación 5.2.
Linealidad
La transformada de Laplace tiene la propiedad de linealidad es decir, en una ecuación con varias funciones, se puede calcular la transformada de Laplace de cada término y de cada una de las funciones por separado como lo muestra la ecuación 5.3, cabe mencionar que las constantes salen de la transformada de Laplace.
Teorema de traslación
Cuando se quiera realizar la transformada de Laplace de una función multiplicado por una exponencial, se puede usar el teorema de traslación como lo muestra la ecuación 5.4.
Donde la transformada de Laplace de una función en el tiempo es igual a la función pero en el dominio de la frecuencia como lo muestra la ecuación 5.5.
Teorema de la convolución
Si f * g representa la convolución de las funciones f y g, entonces al calcular la transformada de Laplace se puede sacar la transformada de cada una de las funciones y multiplicarlas como lo muestra la ecuación 5.6.
Teorema de la transformada de la derivada
Este teorema se muestra en la ecuación 5.7 donde F(s) = L{f(t)} y su finalidad es cancelar la derivada del orden que sea con tan solo multiplicar la variable s elevada al orden de la derivada por la función y le resta sus condiciones iniciales.
La ecuación 5.8 muestra la transformada de Laplace de la primera derivada, donde se ve que se multiplica por s la transformada de Laplace de la función menos su condición inicial, es importante señalar que si no se cuenta con las condiciones iniciales ese término es igual a cero.
Aplicando este teorema para la segunda derivada se obtiene la ecuación 5.9, donde se ve que ahora se multiplica F(s) por s2 para así eliminar la segunda derivada y se le restan las condiciones iniciales, de la misma manera si no existen condiciones iniciales esos términos son igual a cero.
Teorema de la transformada de la Integral
La ecuación 5.10 muestra cómo se aplica este teorema cuando se calcula la transformada de Laplace a una integral, esto es, se multiplica por 1 entre s la transformada de la función.
Para resolver ecuaciones diferenciales utilizando el método de la transformada de Laplace debes de tomar en cuenta los siguientes pasos:
- Sacar la transformada de Laplace de cada lado de la ecuación diferencial.
- Aplicar los teoremas necesarios.
- Despejar la variable dependiente.
- Aplicar la transformada inversa de Laplace utilizando tablas.
- Obtener la solución en el dominio del tiempo.
Veamos un ejemplo para comprender mejor la aplicación del método:
Resolver la ecuación diferencial representada en la ecuación 5.12.
Siguiendo los pasos descritos, primeramente se calcula la transformada de Laplace a ambos lados de la igualdad como lo muestra la ecuación 5.13.
Después, para el primer término se calcula la transformada de Laplace de la derivada utilizando la ecuación 5.8, obteniendo la ecuación 5.14.
Para el segundo término aplicamos el teorema de la ecuación 5.5 y quedaría como lo muestra la ecuación 5.15.
Para el primer término del lado derecho de la igualdad, utilizamos las transformadas mostradas en la tabla 1, con lo cual se obtiene la ecuación 5.16
Ahora se puede poner el resultado al aplicar la transformada de Laplace en la ecuación 5.13, la cual se muestra en la ecuación 5.17
Siguiendo ahora con el paso 3, se despeja la variable dependiente de la ecuación 5.17 y se obtiene la ecuación 5.18.
Para aplicar la transformada inversa es necesario descomponer la ecuación 5.18 a fracciones parciales, una vez obteniendo el resultado se puede aplicar la transformada inversa. De esta manera en la ecuación 5.19 se muestra el resultado al aplicar fracciones parciales.
A la ecuación 5.19 ya se le puede aplicar la transformada inversa para obtener el resultado en el dominio del tiempo. La ecuación 5.20 muestra la transformada inversa.
Para calcular la transformada inversa de cada término, primeramente las constantes salen de la transformada inversa como lo muestra la ecuación 5.21, de esta manera se puede observar la tabla 2 para obtener el resultado de la ecuación diferencial en el dominio del tiempo como lo muestra la ecuación 5.22.
Como puedes observar, en este ejercicio cuando se trabaja en el dominio de las frecuencias, las letras de las funciones se escriben en mayúsculas, y cuando se está trabajando en el dominio del tiempo, las letras se escriben en minúsculas.
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